Mathematics 上海大学数学系王卿文老师及研究团队文章：对偶四元数厄密特征值问题的瑞利商迭代

来源：米乐m6平台官方版苹果发布时间：2025-04-06 13:32:01

详细介绍

　　对偶四元数和对偶四元数矩阵已被大范围的应用于刚体运动、手眼标定问题、同时定位与地图构建 (SLAM) 问题以及运动学建模与控制。在本文中，作者专注于解决对偶四元数Hermitian矩阵的右特征值问题，并提出了一种基于瑞利商迭代 (RQI) 的数值求解算法。通过利用瑞利商的最小残差特性，作者对该办法来进行了收敛性分析。实验根据结果得出，该方法在精度和时间效率方面均优于传统的幂法，其残差更小且计算速度更快。此外，作者还引入了对偶四元数矩阵的对偶表示法，这一创新不仅为求解对偶四元数线性系统提供了新的视角，也为后续保结构算法的发展奠定了理论基础。这些进展一同推动了对偶四元数及其应用领域的进一步研究和技术实现。

　　对偶数由William Clifford于19世纪提出，而四元数由William Rowan Hamilton引入。两者的结合发展为对偶四元数，用于描述刚体运动的统一表示。对偶四元数及其矩阵结合了对偶数和四元数的代数特性，被大范围的应用于同时定位与地图构建 (SLAM) 问题、机器人运动学、手眼标定、动力学、计算机图形学和机械设计等领域，用于高效描述刚体的旋转与平移运动。作为统一表示位姿的工具，对偶四元数具有数值稳定性高、计算效率优的特点，其矩阵形式进一步便于线性代数工具的使用。在机器人运动学、轨迹规划与姿态控制中，对偶四元数及对偶四元数矩阵都表现出了极大优势。

　　文章开篇对对偶数、四元数以及对偶四元数的定义进行了系统回顾，强调了它们在多个应用领域中的重要性，并详细的介绍了对偶四元数Hermitian矩阵特征值问题的研究现状。随后，文中介绍了一系列关键概念，包括对偶数的全序关系、特征值问题和瑞利商等，为读者提供了坚实的理论基础。

　　接下来，本文提出了一种对偶四元数矩阵的对偶表示法。具体而言，作者建立了对偶四元数矩阵与对偶矩阵之间的同构映射，这不仅为求解对偶四元数线性系统提供了新的方法，还为后续保结构算法的发展奠定了理论基础。基于此，作者引入了一种瑞利商迭代 (Rayleigh Quotient Iteration, RQI) 方法，用于计算对偶四元数Hermitian矩阵的特征值及其对应的特征向量。此外，通过利用瑞利商的最小残差特性，作者对该方法的收敛性进行了分析。

　　在数值实验部分，首先通过一个稠密对偶四元数Hermitian矩阵验证了瑞利商迭代方法的可行性和有效性。然后，作者计算了图随机Laplace矩阵的特征值，根据结果得出瑞利商迭代方法相比幂法具有更高的效率。尤其是在处理不同大小的Laplace矩阵时，瑞利商迭代仅需几步迭代就可以实现快速收敛，从而显著减少了计算时间并提高了准确性。这些结果展示了瑞利商迭代方法在大规模对偶四元数Hermitian矩阵特征值计算中的高效性能和广泛适用性。

　　本文首次探讨了利用瑞利商迭代方法求解对偶四元数Hermitian矩阵的特征值问题，提出了一种有效的保结构算法，并对其收敛性进行了详细分析。同时，引入了一种对偶四元数矩阵的对偶表示法，该表示法为后续结构保持算法的发展奠定了坚实的理论基础。

　　本文的主要成果不仅丰富了对偶四元数Hermitian矩阵特征值问题的研究领域，还为其在多智能体编队控制等应用领域的潜在应用提供了理论支持。此外，这些成果也为未来的研究工作提供了重要的参考和启示，推动了对偶四元数及其有关技术在更广泛的应用场景中的发展与应用。

　　通过上述研究，作者希望不仅能促进对偶四元数Hermitian矩阵特征值问题的深入理解，还能激发更多关于其实际应用的探索，特别是在复杂的多智能体系统中实现更精准和高效的控制策略。

　　上海大学。研究方向：四元数矩阵的特征值问题、张量填充与低秩逼近及其有效算法

　　上海大学。研究方向：线性和多重线性代数、矩阵理论及应用、数值代数、量子计算、四元数统计。

　　桂林电子科技大学。研究方向：信号与系统中的矩阵和张量低秩逼近及其有效算法、图像信息安全。

　　期刊主题涵盖纯数学和应用数学所有领域，重点发表代数与逻辑、几何与拓扑、数学分析、统计与运筹学、应用数学，包括数学与计算机科学、控制理论与力学、数学生物学、数学物理、金融数学等数学在其他各学科应用的文章。现已被 SCIE (Web of Science)、Scopus 等重要数据库收录，JCR category rank: 21/489 (Q1)。